Teknik integrasi parsial ($\int u \, dv = uv - \int v \, du$ dan metode Tanzalin/Tabel), integral substitusi trigonometri, dekomposisi pecahan parsial rasional, perhitungan volume benda putar mengelilingi sumbu-$X$ dan sumbu-$Y$ (metode cakram dan cincin: $V = \pi \int [f(x)]^2 dx$), serta panjang busur kurva.
Teknik integrasi lanjut memperluas repertoar kalkulus integral untuk menyelesaikan integran yang tidak dapat disederhanakan oleh substitusi aljabar sederhana. Integrasi Parsial diturunkan dari aturan turunan perkalian dua fungsi: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$, yang sangat efektif untuk perkalian fungsi aljabar dengan trigonometri atau eksponensial.
Substitusi trigonometri memanfaatkan identitas Pythagoras (seperti $x = a\sin\theta$ untuk $\sqrt{a^2 - x^2}$ dan $x = a\tan\theta$ untuk $\sqrt{a^2 + x^2}$) untuk mengeliminasi bentuk irasional akar kuadrat. Dekomposisi pecahan parsial memecah fungsi rasional $\frac{P(x)}{Q(x)}$ menjadi penjumlahan suku-suku linear sederhana.
Aplikasi integral tentu mencakup perhitungan volume benda putar 3D yang dihasilkan dari pemutaran daerah kurva sejauh $360^\circ$ mengelilingi sumbu koordinat menggunakan Metode Cakram ($V = \pi \int_a^b y^2 dx$) dan Metode Cincin Silindris ($V = \pi \int_a^b (y_1^2 - y_2^2) dx$).
Menghitung $\int x\cos x dx$ dan $\int x^2 e^x dx$ menggunakan turunan dan integral berulang.
Menerapkan substitusi $x = a\sin\theta, a\tan\theta, a\sec\theta$ pada integral fungsi aljabar irasional.
Mendekomposisi faktor linear berbeda dan faktor kuadratik tak tereduksi pada fungsi pecahan aljabar.
Menghitung volume putar metode cakram dan metode cincin mengelilingi sumbu-X dan sumbu-Y.
5 butir instrumen soal pilihan ganda berbasis HOTS untuk mengukur pemahaman konsep pada bab ini. Dilengkapi kunci jawaban dan uraian pembahasan analitis.
Hasil dari integral parsial $\int x \sin x \, dx$ adalah...
Pembahasan: Misal $u = x \rightarrow du = dx$; $dv = \sin x dx \rightarrow v = -\cos x$. $\int u dv = uv - \int v du = x(-\cos x) - \int (-\cos x) dx = -x\cos x + \sin x + C$.
Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh garis $y = 2x$, sumbu-$X$, garis $x = 0$, dan $x = 3$ diputar mengelilingi sumbu-$X$ sejauh $360^\circ$ adalah...
Pembahasan: $V = \pi \int_0^3 y^2 dx = \pi \int_0^3 (2x)^2 dx = \pi \int_0^3 4x^2 dx = \pi [\frac{4}{3}x^3]_0^3 = \pi [\frac{4}{3}(27) - 0] = 36\pi\text{ satuan volume}$.
Substitusi trigonometri yang paling tepat digunakan untuk menyelesaikan integral $\int \frac{1}{\sqrt{9 - x^2}} \, dx$ adalah...
Pembahasan: Bentuk $\sqrt{a^2 - x^2}$ diselesaikan dengan substitusi $x = a\sin\theta$. Untuk $a=3$, maka $x = 3\sin\theta$.
Hasil dari integral $\int x e^{2x} \, dx$ menggunakan metode parsial adalah...
Pembahasan: $u = x \rightarrow du = dx$; $dv = e^{2x}dx \rightarrow v = \frac{1}{2}e^{2x}$. Hasil $= \frac{1}{2}x e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x}dx = \frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x} + C$.
Bentuk dekomposisi pecahan parsial dari fungsi $\frac{5x - 1}{x^2 - x - 2} = \frac{5x - 1}{(x - 2)(x + 1)}$ adalah...
Pembahasan: $\frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1} = \frac{A(x+1) + B(x-2)}{(x-2)(x+1)}$. Untuk $x=2 \rightarrow 3A = 9 \rightarrow A = 3$. Untuk $x=-1 \rightarrow -3B = -6 \rightarrow B = 2$. Maka $\frac{3}{x-2} + \frac{2}{x+1}$.
Setelah mengunduh berkas perangkat ajar, ikuti langkah berikut untuk menggunakannya secara optimal:
Tidak ada bahan ajar yang cocok dengan kriteria pencarian.
