Modul Ajar Matematika Tingkat Lanjut Kelas 12 SMA: Vektor pada Ruang Dimensi Tiga (Bab 1)

Representasi vektor pada ruang $\mathbb{R}^3$, operasi aljabar vektor (penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar), panjang vektor $|\vec{u}|$, perkalian titik (Dot Product: $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta$), proyeksi vektor ortogonal (skalar dan vektor), serta perkalian silang (Cross Product $\vec{u} \times \vec{v}$).

Capaian dan tujuan pembelajaran

Peserta didik mampu melakukan operasi aljabar vektor dan menentukan panjang vektor pada ruang tiga dimensi.
Peserta didik mampu menghitung perkalian titik (dot product), sudut antarvektor, dan proyeksi ortogonal.
Peserta didik mampu menerapkan perkalian silang (cross product) untuk menghitung luas dan vektor normal bidang.

Materi pokok & uraian konsep pembelajaran

Vektor merupakan besaran yang memiliki nilai (*magnitudo*) dan arah di dalam ruang koordinat tiga dimensi $\mathbb{R}^3$. Vektor posisi dinyatakan oleh $\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ dengan panjang modulus $|\vec{r}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.

Perkalian titik (*dot product*) $\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3$ menghasilkan besaran skalar yang digunakan untuk menghitung sudut antardua vektor ($\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$) serta menentukan proyeksi ortogonal vektor $\vec{u}$ pada vektor $\vec{v}$ ($\vec{p} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2} \vec{v}$). Dua vektor saling tegak lurus jika dan hanya jika $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

Perkalian silang (*cross product*) $\vec{u} \times \vec{v}$ menghasilkan vektor baru yang tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh kedua vektor awal dengan aturan determinan matriks $3 \times 3$. Magnitudo perkalian silang merepresentasikan luas jajar genjang yang direntangkan oleh kedua vektor.

Peta subtopik bahasan

Operasi Aljabar dan Panjang Vektor di Ruang Tiga Dimensi
Menghitung vektor basis, kesamaan vektor, penjumlahan, dan vektor satuan $\hat{u} = \frac{\vec{u}}{|\vec{u}|}$.
Perkalian Skalar (Dot Product) dan Sudut Antarvektor
Menganalisis sifat komutatif dot product dan syarat ortogonalitas dua vektor saling tegak lurus.
Proyeksi Ortogonal (Proyeksi Skalar dan Proyeksi Vektor)
Menghitung panjang proyeksi skalar dan menentukan vektor proyeksi ortogonal pada arah acuan.
Perkalian Silang (Cross Product) dan Luas Bidang
Menghitung determinan matriks cross product dan menentukan luas segitiga/jajargenjang dalam ruang $\mathbb{R}^3$.

Istilah kunci dan glosarium

Vektor Satuan: Vektor yang memiliki panjang (modulus) tepat bernilai satu satuan yang searah dengan vektor asalnya: $\hat{u} = \frac{\vec{u}}{|\vec{u}|}$.
Perkalian Titik (Dot Product): Operasi perkalian dua vektor yang menghasilkan besaran skalar: $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta = u_1 v_1 + u_2 v_2 + u_3 v_3$.
Proyeksi Vektor Ortogonal: Bayangan vektor hasil penjatuhan tegak lurus suatu vektor pada garis/vektor lain yang dirumuskan $\vec{p} = (\frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2})\vec{v}$.
Perkalian Silang (Cross Product): Operasi perkalian dua vektor di $\mathbb{R}^3$ yang menghasilkan vektor baru yang tegak lurus terhadap kedua vektor pembentuknya.
Vektor Ortogonal: Dua buah vektor yang saling tegak lurus satu sama lain sehingga sudut yang dibentuk adalah $90^\circ$ dan nilai dot product-nya sama dengan nol.

Instrumen asesmen formatif & contoh soal pembelajaran

5 butir instrumen soal pilihan ganda berbasis HOTS untuk mengukur pemahaman konsep pada bab ini. Dilengkapi kunci jawaban dan uraian pembahasan analitis.

Soal 1

Diketahui vektor $\vec{a} = 2\hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$ dan $\vec{b} = \hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}$. Hasil dari perkalian skalar $\vec{a} \cdot \vec{b}$ adalah...

A. $-7$
B. $7$
C. $-5$
D. $11$