Soal 1
Hasil dari integral tak tentu $\int (6x^2 - 4x + 5) \, dx$ adalah...
Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan
Kunci Jawaban: Pilihan A
Pembahasan: $\int (6x^2 - 4x + 5) dx = \frac{6}{3}x^3 - \frac{4}{2}x^2 + 5x + C = 2x^3 - 2x^2 + 5x + C$.
Modul Ajar Matematika Kelas 12 SMA: Kalkulus Dasar: Integral Tak Tentu dan Tentu (Bab 4)
Konsep antiturunan (integral tak tentu $\int ax^n dx = \frac{a}{n+1}x^{n+1} + C$), sifat-sifat linearitas integral, teknik integral substitusi aljabar, Teorema Dasar Kalkulus pada integral tentu ($\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$), serta aplikasi integral untuk menghitung luas daerah di bawah kurva.
Capaian dan tujuan pembelajaran
- Peserta didik mampu menentukan antiturunan dan menyelesaikan operasi integral tak tentu aljabar.
- Peserta didik mampu menerapkan teknik substitusi dalam menyelesaikan integral fungsi komposit.
- Peserta didik mampu menghitung integral tentu dan menerapkannya untuk menghitung luas daerah di bawah kurva.
Materi pokok & uraian konsep pembelajaran
Integral merupakan operasi balikan (*antiturunan/antiderivative*) dari diferensiasi dalam kalkulus. Integral tak tentu $\int f(x) dx = F(x) + C$ menghasilkan keluarga kurva fungsi yang memiliki turunan yang sama, di mana konstanta integrasi $C$ ditentukan melalui syarat batas awal.
Teknik integrasi substitusi aljabar mempermudah penyelesaian bentuk perkalian fungsi komposit $\int f(g(x)) g'(x) dx = \int f(u) du$ dengan memisalkan $u = g(x)$. Sifat linearitas memungkinkan integral penjumlahan diselesaikan per suku aljabar.
Teorema Dasar Kalkulus menjembatani konsep aljabar antiturunan dengan interpretasi geometris luas daerah pada integral tentu $\int_a^b f(x) dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$. Aplikasi integral diaplikasikan untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva ($L = \int_a^b [f(x) - g(x)] dx$) dan surplus konsumen/produsen.
Peta subtopik bahasan
Konsep Antiturunan dan Rumus Dasar Integral Tak Tentu
Menghitung $\int ax^n dx$, sifat linearitas $\int [af(x) \pm bg(x)] dx$, dan penentuan nilai konstanta $C$.
Teknik Integrasi dengan Metode Substitusi Aljabar
Menerapkan substitusi variabel $u$ dan $du$ pada fungsi aljabar berpangkat tinggi dan bentuk akar.
Integral Tentu dan Teorema Dasar Kalkulus
Menghitung nilai numerik integral batas $[a, b]$ dan menganalisis sifat pembalikan batas serta aditif selang.
Aplikasi Integral: Perhitungan Luas Daerah Kurva
Menghitung luas daerah antara kurva $y = f(x)$ dengan sumbu-$X$ serta daerah irisan dua kurva parabola-garis.
Istilah kunci dan glosarium
- Antiturunan (Integral Tak Tentu)
- Operasi pencarian fungsi asal $F(x)$ yang turunannya adalah $f(x)$, dirumuskan $\int f(x) dx = F(x) + C$.
- Teorema Dasar Kalkulus
- Teorema fundamental yang menyatakan bahwa integral tentu suatu fungsi kontinu dapat dihitung melalui selisih nilai antiturunannya pada batas-batas integrasi: $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$.
- Substitusi Integral
- Metode penyelesaian integral dengan mengubah variabel integrasi menjadi variabel baru $u$ untuk menyederhanakan bentuk integran.
- Luas Daerah di Bawah Kurva
- Besaran luas bidang datar yang dibatasi oleh grafik fungsi $y = f(x)$, sumbu-$X$, serta garis batas $x = a$ dan $x = b$.
- Konstanta Integrasi ($C$)
- Bilangan real sembarang yang ditambahkan pada hasil integral tak tentu karena turunan dari sembarang konstanta bernilai nol.
Instrumen asesmen formatif & contoh soal pembelajaran
5 butir instrumen soal pilihan ganda berbasis HOTS untuk mengukur pemahaman konsep pada bab ini. Dilengkapi kunci jawaban dan uraian pembahasan analitis.
Soal 2
Nilai dari integral tentu $\int_1^3 (3x^2 + 2x) \, dx$ adalah...
Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan
Kunci Jawaban: Pilihan A
Pembahasan: $F(x) = x^3 + x^2$. $F(3) = 3^3 + 3^2 = 27 + 9 = 36$. $F(1) = 1^3 + 1^2 = 2$. Hasil $= 36 - 2 = 34$.
Soal 3
Hasil dari integral substitusi $\int 2x (x^2 + 1)^4 \, dx$ adalah...
Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan
Kunci Jawaban: Pilihan A
Pembahasan: Misal $u = x^2 + 1 \rightarrow du = 2x dx$. Integral menjadi $\int u^4 du = \frac{1}{5} u^5 + C = \frac{1}{5}(x^2 + 1)^5 + C$.
Soal 4
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva parabola $y = x^2$, sumbu-$X$, garis $x = 0$, dan garis $x = 3$ adalah...
Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan
Kunci Jawaban: Pilihan A
Pembahasan: $L = \int_0^3 x^2 dx = [\frac{1}{3}x^3]_0^3 = \frac{1}{3}(3^3) - 0 = \frac{27}{3} = 9\text{ satuan luas}$.
Soal 5
Jika diketahui $f'(x) = 4x - 3$ dan $f(2) = 5$, maka rumus fungsi $f(x)$ adalah...
Lihat Kunci Jawaban & Pembahasan
Kunci Jawaban: Pilihan A
Pembahasan: $f(x) = \int (4x - 3) dx = 2x^2 - 3x + C$. $f(2) = 2(2^2) - 3(2) + C = 8 - 6 + C = 2 + C = 5 \rightarrow C = 3$. Jadi $f(x) = 2x^2 - 3x + 3$.
Petunjuk penggunaan berkas
Setelah mengunduh berkas perangkat ajar, ikuti langkah berikut untuk menggunakannya secara optimal:
- Buka dokumen menggunakan Microsoft Word, Google Docs, atau LibreOffice.
- Sesuaikan identitas satuan pendidikan, nama guru pengampu, NIP, serta alokasi waktu kelas.
- Cetak instrumen asesmen atau bagikan lembar kerja (LKPD) kepada peserta didik.
Bahan ajar Matematika lainnya
Tidak ada bahan ajar yang cocok dengan kriteria pencarian.