Modul Ajar Matematika Kelas 12 SMA: Teori Peluang Majemuk dan Peluang Bersyarat (Bab 3)

Kaidah pencacahan (aturan penjumlahan, perkalian, permutasi $P(n,r)$, kombinasi $C(n,r)$), konsep ruang sampel dan peluang kejadian tunggal, peluang kejadian majemuk saling lepas ($P(A \cup B) = P(A) + P(B)$) dan tidak saling lepas, serta peluang kejadian saling bebas dan peluang bersyarat ($P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$).

Capaian dan tujuan pembelajaran

Peserta didik mampu menerapkan aturan permutasi dan kombinasi dalam menyelesaikan masalah pencacahan.
Peserta didik mampu menghitung peluang kejadian majemuk saling lepas dan saling bebas.
Peserta didik mampu menganalisis dan menyelesaikan masalah peluang bersyarat dalam kehidupan sehari-hari.

Materi pokok & uraian konsep pembelajaran

Teori peluang mengukur derajat ketidakpastian suatu kejadian acak secara matematis pada interval nilai $[0, 1]$. Kaidah pencacahan permutasi (memperhatikan urutan) dan kombinasi (tanpa memperhatikan urutan) menjadi dasar penentuan ukuran ruang sampel $n(S)$ dan titik sampel kejadian $n(A)$.

Peluang kejadian majemuk menganalisis hubungan dua atau lebih kejadian: kejadian saling lepas (tidak dapat terjadi bersamaan, $P(A \cap B) = 0$), kejadian tidak saling lepas ($P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$), serta kejadian saling bebas ($P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$) di mana terjadinya peristiwa $A$ tidak mempengaruhi peluang peristiwa $B$.

Peluang bersyarat (*conditional probability*) $P(A|B)$ menganalisis peluang kejadian $A$ dengan syarat kejadian $B$ telah terjadi sebelumnya. Teorema Bayes memperluas konsep ini untuk pemodelan inferensi probabilistik dalam kecerdasan buatan dan diagnosa medis.

Peta subtopik bahasan

Kaidah Pencacahan: Permutasi dan Kombinasi
Menghitung susunan posisi jabatan dan pemilihan anggota delegasi menggunakan faktorial.
Peluang Kejadian Tunggal dan Frekuensi Harapan
Menghitung $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$ dan frekuensi harapan $F_h = n \cdot P(A)$ pelemparan dadu/koin.
Peluang Kejadian Majemuk Saling Lepas dan Saling Bebas
Membedakan operasi gabungan peluang saling asing dengan peluang irisan kejadian independen.
Peluang Bersyarat dan Teorema Bayes Sederhana
Menghitung peluang pengambilan bola berturut-turut tanpa pengembalian menggunakan diagram pohon.

Istilah kunci dan glosarium

Permutasi: Susunan berurutan dari sebagian atau seluruh objek yang memperhatikan urutan posisi ($P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}$).
Kombinasi: Pilihan sekumpulan objek tanpa memperhatikan urutan penataannya ($C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}$).
Kejadian Saling Lepas: Dua peristiwa yang mustahil terjadi secara bersama-sama dalam satu percobaan acak ($A \cap B = \emptyset$).
Kejadian Saling Bebas (Independen): Dua peristiwa di mana terjadinya peristiwa pertama sama sekali tidak mempengaruhi peluang terjadinya peristiwa kedua ($P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$).
Peluang Bersyarat: Peluang terjadinya suatu peristiwa $A$ apabila diketahui peristiwa $B$ telah terjadi terlebih dahulu ($P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$).

Instrumen asesmen formatif & contoh soal pembelajaran

5 butir instrumen soal pilihan ganda berbasis HOTS untuk mengukur pemahaman konsep pada bab ini. Dilengkapi kunci jawaban dan uraian pembahasan analitis.

Soal 1

Dari 10 orang calon pengurus OSIS, akan dipilih 3 orang untuk menduduki posisi Ketua, Sekretaris, dan Bendahara. Banyaknya susunan pengurus yang dapat dibentuk adalah...

A. $720\text{ susunan}$
B. $120\text{ susunan}$
C. $240\text{ susunan}$
D. $360\text{ susunan}$