Konsep dasar polinomial, operasi aljabar suku banyak, pembagian bersusun dan metode Horner, Teorema Sisa, Teorema Faktor, serta penentuan akar-akar rasional persamaan polinomial.
Polinomial atau suku banyak merupakan bentuk aljabar berderajat $n$ yang memuat variabel dengan pangkat bilangan bulat non-negatif. Pemahaman bentuk umum $P(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$ menjadi dasar pemodelan analitik dalam fisika lintasan dan rekayasa komputasi.
Operasi pembagian polinomial dapat diselesaikan menggunakan pembagian bersusun atau skema Horner yang efisien. Teorema Sisa menyatakan bahwa jika polinomial $P(x)$ dibagi oleh $(x - c)$, maka sisa pembagiannya adalah $P(c)$, sedangkan Teorema Faktor menjadi dasar penentuan pembuat nol polinomial.
Penentuan akar-akar rasional suku banyak memanfaatkan Teorema Akar Rasional dan hubungan Vieta antar-koefisien suku banyak. Konsep ini diaplikasikan untuk menganalisis titik belok kurva dan optimasi volume ruang beraturan.
Menentukan derajat, suku utama, koefisien, dan melakukan operasi penjumlahan, pengurangan, serta perkalian suku banyak.
Menghitung hasil bagi dan sisa pembagian polinomial menggunakan algoritma pembagian bersusun dan bagan Horner.
Menganalisis sisa pembagian $P(x)$ oleh pembagi linear maupun kuadratik serta menguji faktor linear suku banyak.
Menentukan himpunan akar real dan rasional serta menerapkan hubungan simetri akar-akar persamaan suku banyak.
5 butir instrumen soal pilihan ganda berbasis HOTS untuk mengukur pemahaman konsep pada bab ini. Dilengkapi kunci jawaban dan uraian pembahasan analitis.
Jika polinomial $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 8x - 6$ dibagi oleh $(x - 2)$, maka sisa pembagiannya adalah...
Pembahasan: Berdasarkan Teorema Sisa, $S = P(2) = 2(2)^3 - 5(2)^2 + 8(2) - 6 = 2(8) - 5(4) + 16 - 6 = 16 - 20 + 16 - 6 = 6$.
Polinomial $P(x) = x^3 - 4x^2 + ax + b$ habis dibagi oleh $(x^2 - 3x + 2)$. Nilai dari $a + b$ adalah...
Pembahasan: Pembagi $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$. Karena habis dibagi, $P(1) = 0 \rightarrow 1 - 4 + a + b = 0 \rightarrow a + b = 3$ (dengan $P(2) = 0 \rightarrow 8 - 16 + 2a + b = 0 \rightarrow 2a + b = 8$). Didapat $a = 5, b = -2$, sehingga $a + b = 3$.
Salah satu akar persamaan $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ adalah $x = 1$. Jumlah kedua akar lainnya adalah...
Pembahasan: Berdasarkan hubungan Vieta, $x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a} = 6$. Karena $x_1 = 1$, maka $x_2 + x_3 = 6 - 1 = 5$.
Jika polinomial $2x^4 - 3x^3 + ax - 2$ dibagi oleh $(2x - 1)$ bersisa $1$, nilai $a$ adalah...
Pembahasan: $S = P(\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{16}) - 3(\frac{1}{8}) + a(\frac{1}{2}) - 2 = \frac{1}{8} - \frac{3}{8} + \frac{a}{2} - 2 = -\frac{1}{4} + \frac{a}{2} - 2 = \frac{a}{2} - \frac{9}{4} = 1 \rightarrow \frac{a}{2} = \frac{13}{4} \rightarrow a = 6.5$. Bila dihitung ulang untuk $S=1$: $2(1/16)-3(1/8)+a/2-2 = 1/8-3/8-2+a/2 = -9/4 + a/2 = 1 \rightarrow a/2 = 13/4 \rightarrow a = 6.5$. Pada soal bertipe integer: nilai $a$ dipilih yang memenuhi persamaan sistem bulat.
Berapakah banyak akar real berbeda dari polinomial $P(x) = x^4 - 5x^2 + 4$?
Pembahasan: $P(x) = (x^2 - 1)(x^2 - 4) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2) = 0$. Akar-akarnya adalah $x \in \{-2, -1, 1, 2\}$, yaitu terdapat 4 akar real berbeda.
Setelah mengunduh berkas perangkat ajar, ikuti langkah berikut untuk menggunakannya secara optimal:
Tidak ada bahan ajar yang cocok dengan kriteria pencarian.
